Black一 Scholes模型与二叉树模型的演变、进一步推广在BlackScholes模型提出以后,许多学者对该模型的进一步推广作出了重大贡献.Black一Scholes模型的基本形式只适用于无股利支付股票的欧式期权,显然实际交易的期权的标的物不会受到这些约束.Black(1975年)提出,如果能够假定整个期权持有期的股利可知,则股利支付股票的欧式期权很容易被定价,这只要从股价中减去整个期权持有期的股利现值,并且把这个调整后的期权价格代入Black一 Scholes公式便可. Merton( 1973年)采用将股利表示为连续复利的方法,给出了Black Scholes公式的另外一种形式. Merton的连续复利模型为外汇期权定价提供了一个基本构架.用外币的利率替换连续复利,即期汇率替代标的资产的价格,而波动率就是汇率的波动率,这样就得到了外币的欧式期权定价公式.适用于外币期权的Black Scholes模型通常称为Garman Kohlhagen模型.
William Margrabe( 1978年)提出了一个模型可以用于对两种资产按约定价格交换的权利进行定价.尽管这种被称为交换期权的产品在期权市场上并没有出现过,但由于它是资产、现金与另一种资产的相互交换期权,因此被认为是Black一Scholes模型的广义形式. Robert Geske(1979年)又发展了一种以期权定价期权的模型，换言之,不仅衍生产品本身是一种期权,标的资产也不是一般意义下的资产而是期权,这种被Geske定义为复式期权的衍生产品在期权市场上也没有出现过.但是就像Black和Scholes在他们的最初论文中所讨论的那样,普通股本身也是一种由公司债权人所发行的、以公司资产为标的资产的期权，股东是期权的买入者,因此任何一个有负债公司的股票期权就可以理解为复式期权.更为重要的是,复式期权的计算公式为其他期权的定价提供了可参.考的途径.例如,美式看涨期权的定价是一个特别难解决的问题,股票除息前支付股利的美式看涨期权有可能被提前执行. Roll(1977年)使用Geske模型得出了美式看涨期权的封闭解.此后,Geske(1979年)和Whaley(1981年)对Roll 理论做了进一步的改进,使该公式更趋完善,这一模型就被称为Roll一 Geske Whaley模型.另外一个例子是美式看跌期权,因为在任何时候美式看跌期权
都可能被提前执行,这种期权也难以找到封闭解.Geske和John一son(1984年)发现,通过一系列复式期权可以求出它的封闭解,但因为它含有一个无穷数项,因此计算较复杂.
Merton(1976年)提出了跳跃过程模型, Black Scholes模型的研究都是建立在股价波动平稳基础之上的,但股票价格起伏不定,假如不能够进行套期保值的话,这样波动不定的风险非常大。Merton认为这些波动的风险可被视为分散化的风险,因此我们能够忽略它的风险贴水,从而得到一个跳跃波动率的期权定价模型.Jhon Cox(1975年)的定常弹性方差模型(Constant Elasticity ofVariance Model)给出了当波动率随股价的下跌而增加时怎样定价股票权.虽然目前这一模型使用不多,但它的深远意义就在于第一次尝试着在期权定价模型中体现出波动率的变化1982年期权定价的研究取得了新的进展. Stulz设计了一种根据两种风险资产的较大或较小值确定的期权,这种期权的损益由期权到期时两种标的资产价值的较大者或者较小者决定,到期以后就像普通期权一样进行标的资产的买卖,并对期权进行清算.这种期权在理论上提出了10年以后才在市场上出现.因为一些投资经理更愿意对两个市场中表现较好的市场指数的看涨期权进行投资,而不是同时购买这两种指数的期权或直接在两个市场上进行投资,基于两种资产的期权就可以满足市场的需求。Black Scholes模型的另外一个扩展是考虑违约情况.虽然期权交易的购买者没有必要为违约问题而担心,但场外交易市场存在这个问题. Johnson和Stulz(1987年)给出了在到期日前可能被违约的期权定价公式.Rich(1996年)的研究表明,BlackScholes模型经适当调整以后可以用来对发行人由于破产问题导致违约的期权定价问题。
Black Scholes模型的进一步扩 展与对交易成本和市场完备性的研究也是分不开的.期权定价理论假定交易能够连续发生,该假设要求没有交易成本.但显而易见,实际情况总是违背这个假设条件的.如果带有任何交易成本，该连续交易都会导致无限的费用.而若交易不连续发生,则连续复制不能实现,期权定价公式也就不能得到.同时在不完备市场下,比如限制卖空、存贷利率不同衍生产品的定价也肯定不同.这方面的研究文献有Lelard(1985年), Musiela和Rutkowski(1997 年).这些领域的研究都极有意义,它使理论模型与含有不连续交易、交易成本、市场不完备的真
实情况更趋近一致.
